A PROPÓSITO DE “ENLACE”

Por: Esteban Pérez Redonda*

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pero, ¿por qué sucede esto?, quizá una primer idea sea que cuando nos enseñan matemáticas nos las hacen ver como algo muy difícil de aprender y aplicar en nuestra vida cotidiana, es decir, como si estuviéramos hablando de cosas de otro planeta, el simple hecho de hacer una suma, por ejemplo: ¿Cuánto es 2 + 2? seguro responderemos en automático que es 4 porque ya lo sabemos de memoria, pero el fondo de esto es ¿para qué quiero sumar o por qué utilizo una suma en lugar de alguna otra operación?

Una segunda idea sería que cuando nos enseñan matemáticas lo hacen por medio de una forma mecanizada, es decir, a través de la repetición de ejercicios en las que sólo aprendemos la serie de pasos que debemos seguir para llegar a un resultado correcto (no estoy diciendo que no importen los resultados, claro que importan y mucho, pero debemos definir que se pretende con lo que se enseña) y no le damos la importancia necesaria al hecho de que los niños, jóvenes y adultos debemos desarrollar la capacidad de pensar y resolver problemas que suceden en la vida diaria, desde algo tan sencillo como ir a la tienda para comprar una serie de cosas y saber cuánto es lo que vamos a pagar en total, a veces no basta con realizar una suma de precios, en ocasiones habrá que usar otras herramientas; sin ir más lejos hagamos las siguientes preguntas sobre porcentajes (1):

1. Si uno empieza con un número cualquiera, digamos 100, y le quita el 40%, y al resultado lo incrementa un 40%, ¿se llega otra vez a 100?

2. Al revés ahora: si uno empieza con el número 100, le agrega un 40%, y al resultado le descuenta ahora un 40%, ¿se llega otra vez a 100?

3. Las respuestas que dio para las dos preguntas anteriores, ¿dependieron de que empezara con el número 100, o habría dado lo mismo si hubiera empezado con cualquier otro número?

4. Y las respuestas que dio para las dos primeras preguntas, ¿dependieron de que fuera un 40%, o habría dado lo mismo con cualquier otro porcentaje?

5. Si uno incrementa un número en el 100% y luego descuenta el 100%, ¿se tiene el mismo número con el que empezó? Y al revés, si uno descuenta el 100% y luego lo aumenta, ¿qué obtiene?

¿Respondiste las preguntas anteriores? Sí, verdad. Si no, no te preocupes te daré las respuestas (2).

Por otro lado, el hecho de que nos presenten las cosas de una forma diferente, nos bloquea o simplemente decimos eso no nos lo enseñó el profesor o nunca lo vimos en clase, y ya ni siquiera hacemos el intento por analizar el problema, para posteriormente plantear una posible solución y preferimos dejar a un lado el problema y que después otra persona nos lo pase, sin saber si el resultado que nos pasan es correcto o no.

Debemos tomar en cuenta que la mayoría de los libros referentes a matemáticas, hasta hace un par de años por lo menos, nos plantean formas o fórmulas para resolver ejercicios diseñados para aprender la técnica o si bien nos va desarrollar la habilidad para resolverlos de manera mecanizada. En recientes ciclos escolares algunas editoriales trataron de poner diferentes tipos de problemas que tienen que ver con cosas más palpables para los alumnos a quienes va dirigido y por lo tanto, se les hace más familiar la temática presentada, en fin creo que es un buen paso para el problema de ¿cómo hacer para que a los niños y jóvenes se interesen más por las matemáticas? Pues a través de esto los alumnos se apropian del conocimiento al ser significativo para ellos.

Bueno la finalidad de este trabajo es presentar una alternativa que pueda servir para transmitir o enseñar las matemáticas, desde o con otro punto de vista, a través de soluciones que vayan más enfocadas al análisis del problema presentado y a partir de éste se presente la solución haciendo uso de las fórmulas necesarias.

Saber ¿qué es lo que tengo que hacer? es lo más importante, debido a que teniendo una idea clara de ¿qué voy a hacer o cómo lo voy a hacer? podemos encontrar muchos libros donde nos presentan las diferentes fórmulas para dar solución a un problema. A manera de ejemplo me remito al caso de áreas sombreadas:

Partiendo del supuesto de que desde la primaria nos enseñan las fórmulas para obtener el área de figuras geométricas básicas (y aunque no las recordemos, eso es lo de menos, al fin y al cabo se pueden conseguir después), como el cuadrado, el círculo y el triángulo; el problema consiste en encontrar el área sombreada de las figuras siguientes:

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Antes que nada deben analizar como lo van a resolver, es decir, hacer un análisis gráfico, si se les facilita más pueden tomarse las figuras por separado y una vez que se propone una solución se procede a resolverla aplicando las fórmulas necesarias, por lo regular se les proporcionan dichas fórmulas. En si lo que interesa es que propongan la solución gráfica para después obtener la solución analítica y numérica.

En días pasados se aplicó al menos en el Distrito Federal la prueba ENLACE en el último grado del nivel Bachillerato, donde la idea básicamente es averiguar la capacidad de análisis lógico-matemático de problemas relacionados con la vida cotidiana, es decir, está relacionada con la forma en que aplicamos las matemáticas para la solución de problemas. Los resultados parecen poco alentadores debido a que la mayoría de los alumnos simplemente quieren aplicar fórmulas pero como no saben cuál de todas les servirá, porque nunca resolvieron un problema parecido, para hallar dicha solución se bloquean y ya no saben que responder.

Entonces mientras sigamos con la forma tradicional de enseñar las matemáticas y no hallemos otras nuevas, como lo fue en su momento el Constructivismo y ahora el método Contextual, del cual existe, por cierto, poca información todavía; nos veremos en la necesidad de tener que seguir buscando alternativas para que los alumnos ya no sigan con las preguntas de siempre: ¿y esto para qué me sirve?, sólo me complica la vida y hace que yo no siga con mis estudios pues me voy retrasando cada vez más.

Entonces planteémonos las siguientes preguntas: ¿Queremos que los alumnos aprendan a resolver problemas haciendo uso de las matemáticas como una herramienta y no como un fin? o ¿Queremos que los alumnos simplemente aprendan a mecanizar las cosas para resolver un determinado tipo de ejercicios?

A manera de conclusión, diré que el reto que tenemos como profesores, no sólo de matemáticas, es demasiado grande pues tenemos que empaparnos de información y buscar nuevas alternativas para poder lograr el objetivo que nos planteamos al inicio de cada ciclo escolar; y posiblemente o mejor dicho seguramente, si desde un principio definimos lo qué queremos lograr con nuestros alumnos o qué queremos que aprendan, nos ayudará a ir definiendo las estrategias para lograr dichos objetivos.

Pienso que la decisión y el compromiso es de cada uno de nosotros y no nos demos por vencidos, aunque no lo creas las matemáticas están en todos lados.

Anexo (3)

1) Si usted hizo las cuentas, habrá advertido que ¡no da lo mismo! Es decir, si al número 100 uno le descuenta un 40%, se obtiene el número 60. Si ahora, uno incrementa un 40% al número 60, se obtiene el número 84. Es decir, no da lo mismo deducir un 40% del número 100 y luego aumentárselo. 

2) De la misma forma, si uno empieza primero agregando un 40% al número 100, obtiene el número 140. Si luego a este número (140) le descuenta un 40% (haga la cuenta acá antes de seguir leyendo), el resultado es 84. Es decir, tampoco se vuelve al número 100 de partida.

Por un instante, quiero hacer una cuenta que abarque MÁS que al número 100. Si uno empieza con un número A cualquiera, si primero le aumenta un 40% y luego, al número que obtuvo, le deduce un 40%, no vuelve al mismo número. Y lo mismo sucede al revés, si uno empieza deduciendo primero y aumentando después.

¿Cómo se puede demostrar esto en general?

a) Para descontar el 40% de un número A lo que hay que hacer es: (0,6) · A (1)

Esto, en realidad, calcula el 60% de A, pero es exactamente lo que uno quiere, porque queremos saber a qué número se llega primero cuando uno descuenta el 40% del número A.

b) Para incrementar un 40% a un número B cualquiera, lo que hay que hacer es: (1,4) · B (2)

Luego, usando los resultados de (1) y (2), se tiene: Situación inicial A

Descuento el 40% (0,6) · A

Aumento el 40% a este número (1,4) · (0,6) · A

Y este último número es

(1,4) · (0,6) · A = (0,84) · A (3)

Luego, no se vuelve al número A original, sino a (0,84) x A, que es 16% menor que el que había al principio. Si uno va para el otro lado, es decir, comienza incrementando un 40%, se tiene: Situación inicial A

Incremento el 40% (1,4) · A

Descuento el 40% a ese número (0,6) · (1,4) · A

Este último número es el mismo que teníamos en (3), pero uno descubre que no se obtiene A sino un 84% de A. O sea,

(0,6) · (1,4) · A = (0,84) · A (4)

Luego, la respuesta a las dos primeras preguntas es que no se vuelve al número original. Lo que sí sucede (interesante) es que, si uno ganara en el casino un 40% del dinero que llevó y luego pierde un 40%, si bien no llegará al mismo número con el que empezó (porque perdió un 16%), llegará al mismo número que si hubiera empezado perdiendo un 40% y luego recuperando el 40%.

Para contestar a la tercera pregunta, es fácil comprender que, si en lugar de haber usado el 40% hubiera tomado cualquier otro porcentaje, el resultado sería el mismo. El número 40 es un número cualquiera que elegí para hacer la pregunta, pero habría servido cualquier otro.

Lo invito a pensar en algo más: si al final del proceso uno termina descontando el 100%, el resultado final tiene que ser ¡cero!

Luego, si uno empieza con cualquier número A y lo incrementa en un 100% (o sea, lo multiplica por dos), y luego, al resultado (que es 2A) le descuenta el 100%, lo que se obtiene es… ¡cero! Y lo mismo pasa para el otro lado. Incluso más rápido. Porque si uno empieza con A y le descuenta el 100%, se queda con cero. Aunque ahora uno pretenda aumentar el 100%, lo que tendrá seguirá siendo cero. Sin embargo, el número A no se recupera más.

¿No resulta interesante todo esto? 

Bibliografía y fuentes:

Paenza, Adrián.  Matemática... ¿estás ahí? episodio 3,14, 1a ed. Buenos Aires, Siglo XXI Editores, Argentina, 2007.

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http://www.uaq.mx/matematicas/redm/art/a0904.pdf

*Esteban Pérez Redonda es estudiante de maestría en Educación, en la Universidad Marista.

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Referencias:

1. Paenza, Adrián.  Matemática... ¿estás ahí? episodio 3,14 - 1a ed. - Buenos Aires : Siglo XXI Editores Argentina, 2007 
2. Las respuestas vienen en el anexo. 
3. La respuesta fue tomada tal cual del libro: Paenza, Adrián.  Matemática... ¿estás ahí? episodio 3,14 - 1a ed. - Buenos Aires : Siglo XXI Editores Argentina, 2007.